Un problema de isometrías

Ahora quería presentar un problema bastante bonito, que habla sobre isometrías sin puntos fijos.  Una isometría es una función que preserva distancia.

Problema: Dada isometría tal que para todo se cumple que entonces podemos encontrar una recta tal que .

Aquí estamos tomando a con su métrica usual.  Un ejemplo clásico de isometría sin puntos fijos es una transalción.  En este caso queda claro que cualquier recta con la misma dirección que la traslación queda fija.

Para probar este problema, primero vamos a ver qué pasa si encontramos un punto tal que es mínimo.

Notemos que si son colineales, ya acabamos, porque mandaríamos la recta que pasa por a la recta que pasa por , que es la misma.  Si no es la misma entonces consideremos el punto medio de .  Este punto debe ir al punto medio de .

Con esto, si le aplicamos la desigualdad del triángulo al que tiene vértices , como es un triángulo no degenerado obtenemos que

Esto contradice la minimalidad de por lo que hemos acabado.

Ver que el mínimo realmente existe es un poco técnico por lo que lo dejé al final.  Resulta que toda isometría en se puede ver de la forma .  Donde es una matriz con ciertas propiedades y es un vector.  Con esto .  Usando esto se puede reducir el problema de encontrar un mínimo a encontrarlo en cierta esfera centrada en el origen, por lo que como estamos en un compacto eso existe.