Teoría de conjuntos y geometría

Hace poco me encontré con un survey de Péter Komjáth acerca de construcciones tipo teoría de conjuntos en el plano (o espacios Euclidianos) que dan lugar a conjuntos con propiedades geométricas significativas.

Esto me llamó la atención porque es de las pocas aplicaciones que he visto del axioma de elección (y otras herramientas) que no usan la versión «lema de Zorn y el orden dado por contención», y dan lugar a conjuntos con propiedades bastante raras.  Creo que la construcción conjuntista relacionada a geometría más famosa es la paradoja de Banach-Tarski, pero todas las que voy a mencionar a continuación son muy diferentes.

Para motivar una de estas construcciones, aquí va un teorema bastante bonito acerca de colinearidad.

Teorema (Silvester-Gallai 1944):  Dado un conjunto finito de puntos en el plano, si por cada dos puntos de hay otro punto de colineal con ellos, entonces todos son colineales.

Es decir, si cada línea que pasa por dos de ellos contiene al menos tres del conjunto, todos deben ser colineales.  Es muy fácil ver que la condición de que el conjunto sea finito es absolutamente necesaria, ya si consideramos todo el plano obtenemos un conjunto dónde cada línea que pasa por dos de ellos (es decir, cualquier línea) contiene al menos 3 de ellos.  Si quieren un conjunto más chico, la latiz de puntos con coordenadas enteras sirve.  Sin embargo, usando el axioma de elección podemos hacer una construcción bastante más peculiar.

Teorema (Mazurkiewicz 1914): Existe un conjunto del plano de tal forma que intersecta a cada línea en exactamente puntos.

La idea de la demostración es sencilla (si no saben sobre inducción con ordinales, pueden saltarse este párrafo).  Primero, consideramos el menor ordinal de tamaño y ordenamos al conjunto de líneas como (los son ordinales).  Ahora queremos usar inducción transfinita para elegir puntos en cada de tal manera que en cada línea haya puntos.  Lo único con lo que tenemos que tener cuidado al completar no pongamos puntos colineales con al menos puntos ya elegidos.  Sin embargo, al llegar a la línea hay a lo más parejas de este tipo, y cada una niega a lo más un punto de .  Con esto podemos evitarnos los problemas y seguir construyendo el conjunto.

Con este tipo de ideas se pueden generar mucho más conjuntos raros, por ejemplo se consiguen los siguientes

Teorema (Sierpinski 1958): Existen dos subconjuntos del plano de tal manera que para cualquier traslación , el conjunto tiene exactamente un elemento.

Un problema tipo olimpiada es demostrar que el espacio se puede ver como la unión de círculos ajenos.  Esto se puede hacer con estas técnicas, pidiendo además que los planos que generan a estos círculos estén en posición general, o que todos los círculos tengan radio .

Cabe destacar que hay casos en los que este tipo de inducción no es suficiente, pero con trucos de este estilo se obtienen teoremas más fuertes.  Un ejemplo particularmente bonito es el siguiente

Teorema (Erdös, Hajnal 1969):  Se puede colorear el plano con una cantidad numerable de colores de tal manera que no hay dos puntos diferentes cuya distancia es racional y estén coloreados del mismo color.

La inducción en ordinales como la que se usa en el caso anterior no funciona, pero los detalles técnicos se arreglan sin usar herramientas más avanzadas.  Curiosamente si cambiamos la palabra «racional» por «entero», no se sabe si se puede reducir el número de colores a una cantidad finita.  Es decir,

Problema (David Larman): Decidir si existe un entero $late N$ de tal manera que el plano se puede colorear con colores de tal manera que no haya parejas de puntos diferentes del mismo color cuya distancia sea un entero.

De hecho si uno cambia la condición de prohibir distancias enteras por prohibir distancias , el valor de $late N$ no se sabe, nada más se conoce .

Con este tipo de ideas incluso se pueden encontrar formas equivalentes de la hipótesis del contínuo, como la siguiente:

Teorema (Sierpinski): La hipótesis del contínuo es equivalente a la afirmación de que es la unión de dos conjuntos de tal forma que cada línea horizontal intersecta a en una cantidad a lo más numerable de puntos y cada línea vertical intersecta a en una cantidad a lo más numerable de puntos.